Một ít kinh nghiệm về tính toán Tenxơ « Ngô Thiếu Gia kiến thức mới năm 2023

Chôm 1 bài về ten-xơ ở đây về treo tạm trên blog.

———————————————————————————————-

Như mọi người đều đã biết vô hướng (tenxơ bậc 0), véctơ (tenxơ bậc 1), ma trận (tenxơ bậc 2) và một ít khái niệm về tenxơ (tenxơ cầu, lệch…). Bây giờ, chúng ta sẽ chỉ dùng chung 1 khái niệm tổng quát là tenxơ, vậy tenxơ là gì ?
Tenxơ bậc n trong không gian m chiều gồm phần tử (tenxơ bậc không).
Ký hiệu là : .
Trong đó : được gọi là phần tử của tenxơ A.
là các véctơ cơ sở của không gian m chiều.
Thông thường, thì ta hay xét trong không gian (không gian 3 chiều), hay mặt phẳng (không gian 2 chiều), nếu sử dụng không gian lớn hơn 3 chiều thì sẽ chắc chắn sẽ giải thích rõ.
Vì vậy, người ta chỉ cần viết ngắn gọn tenxơ A là : thể hiện n là số bậc của tenxơ A.
Sau đây là một số phép tính toán tenxơ (chỉ xét trong cùng 1 không gian) :
Phép cộng (trừ) Tenxơ :
Tổng (hiệu) của 2 tenxơ cùng bậc là 1 tenxơ cùng bậc có các phần tử là tổng(hiệu) của các phần tử của 2 tenxơ tương ứng.
(Chỉ có những tenxơ cùng bậc mới có thể thực hiện được phép tính cộng hoặc trừ).
Ví dụ : A+B=C tương đương với Aij + Bij = Cij (A,B, C là các tenxơ bậc 2).
Phép nhân Tenxơ :
Tích tenxơ : (produit tensoriel)
Tích tenxơ của 2 tenxơ là 1 tenxơ có bậc là tổng các bậc của 2 tenxơ nhân tử.
Giá trị của các phần tử của tenxơ tích bằng tích các phần tử của các tenxơ nhân tử tương ứng.
Ví dụ : AB=C (A,B là các tenxơ bậc 2, C là tenxơ bậc 4 ) tương đương với Aij.Bkl = Cijkl
Tích chập chỉ số :
Tích chập chỉ số của 2 tenxơ là 1 tenxơ có bậc bằng tổng các bậc của 2 tenxơ nhân tử trừ đi 2 lần số chỉ số chập.
Giá trị của tenxơ tích ta sẽ xem xét sau (phụ thuộc số chỉ số chập)
Chập 1 chỉ số : (produit vectoriel)
Kí hiệu : A.B=C tương đương với Aik.Bkj = Cij (A,B, C là các tenxơ bậc 2). Trong đó k là chỉ số câm.
Chỉ số câm : Trong không gian m chiều chỉ số câm là chỉ số chạy từ 1 đến m, k=1,2,..,m. Chỉ số câm là chỉ số chỉ xuất hiện 2 lần trong cùng 1 biểu thức (chủ yếu xuất hiện khi thực hiện phép nhân chập chỉ số).
Chỉ số câm không phụ thuộc vào kí hiệu của chỉ số. (Aii=Ajj=Akk)
Ví dụ : (Trong không gian 3 chiều)
Akk= A11+ A22+ A33
Aik.Bkj= Ai1.B1j + Ai2.B2j + Ai3.B3j

Chập 2 chỉ số : (produit contracté)
Kí hiệu A:B=c tương đương với Aij.Bji=c (A,B là các tenxơ bậc 2, c là tenxơ bậc 0 )
Trong đó i,j là các chỉ số câm.
Trong trường hợp tenxơ B là tenxơ đối xứng Bji=Bij thì :

Aij.Bji=Aij.Bij=

Nhưng cũng có một số người định nghĩa là A:B= Aij.Bij

…………………
Chập h chỉ số :
Theo cách định nghĩa phép nhân chập chỉ số như trên, ta hoàn toàn có thể định nghĩa 1 phép nhân chập h chỉ số bất kỳ, nhưng các tenxơ tham gia thực hiện phép tính này phải có số bậc lớn hơn hoặc bằng h, bởi vì không có tenxơ bậc nhỏ hơn 0.
Một chú ý nhỏ trong phép nhân tenxơ là phép nhân : a.B=C (a là tenxơ bậc 0; B,C là các tenxơ bậc khác 0). Đây không phải là phép nhân chập 1 chỉ số (vì a có bậc nhỏ hơn 1), mà là phép nhân của 1 vô hướng với 1 tenxơ B sẽ cho ra 1 tenxơ C có bậc đúng bằng bậc của tenxơ B, giá trị của các phần tử của tenxơ C là tích của vô hướng đó với các phần tử của tenxơ B.
Về quy tắc, đã có phép nhân, tất nhiên sẽ có phép chia, vậy ta thực hiện phép chia thế nào ?